| 摘要 | 如何利用已知的计算或实验数据建立流体力学物理模型, 并进一步分析流体力学物理问题与探究其潜在的物理规律具有重要研究意义. 符号回归方法是数据挖掘在科学计算领域的重要数学方法, 它对于重构物理数学模型具有潜在应用价值. 然而对于多变量、大规模问题, 传统符号回归方法仍旧存在计算时间长、易陷入早熟等缺点. 本文通过对实际流体力学中物理模型的函数结构进行分析, 从简单到复杂, 按照不同的可分离程度, 提出三种数学模型, 并分别给出符号回归建模算法. 新算法将全空间的函数优化问题转化到低维子空间, 提供了一类针对大规模变量流体力学问题建模的快速求解方案. 具体内容如下:首先, 通过分析实际物理模型中变量可分离特征的基础上, 给出了加法/乘法可分离特性严格的定义, 构造了加法/乘法可分离数学模型. 作为基本模型, 加法/乘法可分离模型为后续章节的数学模型研究奠定基础. 从数学角度推导和建立了加法/乘法可分离性的判断法则，给出了若干定理和结论, 并在此基础上提出了双相关测试法. 对于具有加法/乘法可分离特性的物理模型, 理论推导和数值计算证明该方法可用于提升大规模变量情况下计算效率, 能从根本上减小解的搜索空间, 达到快速建模的目的.其次, 在加法/乘法可分离模型的基础上, 提出了混合算子可分离模型. 该模型针对实际物理问题中的复杂函数结构, 将基本的加/乘可分离模型的函数结构进行了拓展, 引入了4种不同的二元算子. 指出混合算子可分离模型的函数结构由块和因子两个基本元素组成, 并给出了严格的定义. 在双相关测试法的基础上提出了分块建模法, 该方法将混合算子可分离模型的分离为若干块结构, 在此基础上将每个块分离为若干因子. 数值结果表明, 分块搜索法可以很好的分析复杂函数结构, 并提升了利用可分离特性进行函数建模的实用范围.最后, 针对准可分离特性, 进一步提出了广义可分离模型. 分析了广义可分离模型的自变量特点, 提出了重复变量和非重复变量两个基本概念, 将变量类型做了严格归类. 更细化地定义了可分离块, 提出了最小子块的概念, 并在此基础上提出了多层分块搜索法来确定函数结构. 算法通过每一层的搜索过程, 逐步来确定重复变量, 可以达到分析复杂函数结构的目的. 数值计算表明, 算法可以分析具有准可分离特性的多变量的复杂函数结构. |
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